\chapter{Grafy na wesoło}\label{humor}

\begin{Def}\label{humor:def1}
  Graf jest to dostojnik w państwie krzyżackim. 
\end{Def}

\begin{Def}\label{humor:def2}
  Łańcuch jest to przyrząd do wykańczania grafów. Posiada go każdy graf. 
\end{Def}

\begin{Def}\label{humor:def3}
  Graf nieskończony to graf, który żyje. 
\end{Def}

\begin{Def}\label{humor:def4}
  Graf skończony to graf, który został wykończony łańcuchem przez innego grafa, albo zginął pod Grunwaldem. 
\end{Def}

\begin{Tw}\label{humor:tw1}
  Graf nieskończony zawiera się w grafie skończonym. 
\end{Tw}
\begin{Dw} Ze względu na trywialność pomijamy \end{Dw}
\begin{Def}\label{humor:def5} 
  Ścieżka jest to droga, którą porusza się graf.
\end{Def}

\begin{Lem}\label{humor:lem1}
  Każdy graf chodzi własną ścieżką. 
\end{Lem}
\begin{Dw}
  Jeśli dwu dostojników wchodzi sobie w drogę, to prędzej czy później zostanie tylko jeden. Stanem stabilnym jest zatem:  1 graf - 1 ścieżka.
\end{Dw}
\begin{Tw}\label{humor:tw2}
  Jeśli dwie ścieżki się przecinają, to na co najmniej jednej znajduje się graf skończony. 
\end{Tw}
\begin{Dw} 
  Z Lematu \ref{humor:lem1} wnioskujemy, że w razie spotkania dwóch grafów przynajmniej jednemu z nich uda się wykończyć łańcuchem przeciwnika. Z definicji \ref{humor:def4} otrzymujemy, że graf jest skończony.
\end{Dw}
\begin{Tw}\label{humor:tw3}
  Istnieje taka długość łańcucha, dla której prawdopodobieństwo przejścia graf nieskończony $\rightarrow$ graf skończony jest najmniejsze. 
\end{Tw}
\begin{Dw} 
  Jeśli łańcuch jest zbyt krótki, nie może spełniać swoich zadań, przez co graf-adwersarz ma przewagę i łatwiej może spowodować przejście do stanu grafa skończonego. Z kolei zbyt długi łańcuch jest nieporęczny, zatem również nie spełnia swoich funkcji. Łańcuch winien być zatem dostatecznie długi, by być skuteczny, a zarazem dostatecznie krótki, by być poręczny.
\end{Dw}
\begin{Def}\label{humor:def6} 
  Długością optymalną łańcucha nazywamy długość, przy której graf nieskończony ma najmniejsze szanse stać się grafem skończonym. 
\end{Def}

\begin{Def}\label{humor:def7}
  Siła grafa jest to zdolność grafa do posługiwania się łańcuchem. 
\end{Def}

\begin{Tw}\label{humor:tw4}
  Optymalna długość łańcucha dla każdego grafa może być inna i jest funkcją jego siły. 
\end{Tw}
\begin{Dw} trywialny \end{Dw} 
\begin{Tw}\label{humor:tw5}
  Zależność długości optymalnej od siły grafa jest słabsza od liniowej. 
\end{Tw}
\begin{Dw}
  Maksymalna długość łańcucha, którym może posługiwać się graf rośnie liniowo z siła grafa. Jednakże silniejszy graf potrafi wyrządzić relatywnie większa szkodę nawet krótszym łańcuchem. Jako dobrą aproksymację przyjmuje się zazwyczaj wzór:\newline $Lo = Lo_0 * \frac{S_g - 1/S_g}{2}$, gdzie $Lo_0 = const, S_g - siła grafa.$ 
\end{Dw}
\begin{Tw}\label{humor:tw6}
\begin{enumerate}
 \item Grafy o większej sile maja mniejsze prawdopodobieństwo stania się grafami skończonymi. 
 \item Istnieje pewna siła grafa (uznawana za jednostkową), poniżej której graf nie może być w sposób trwały nieskończony.
\end{enumerate}
\end{Tw}
\begin{Dw}
  Są to proste wnioski z zależności podanej w dowodzie twierdzenia \ref{humor:tw4}.
\end{Dw}
